דף יומי אלטרנטיבי – קצת מתמטיקה

הנושא הפעם הוא: "שניים אוחזין", המשנה הפותחת של בבא מציעא. לפני שקוראי בורחים כל עוד נפשם בם אני מתחייב שעד סוף הרשומה יהיה בה מתמטיקה, ומשוואות, וגם תורת ההסתברות ולבסוף גם תורת המשחקים. עכשיו שאר הקוראים רשאים לברוח. אז הנה המשנה:

1. שְׁנַיִם אוֹחֲזִין בְּטַלִּית, זֶה אוֹמֵר אֲנִי מְצָאתִיהָ, וְזֶה אוֹמֵר אֲנִי מְצָאתִיהָ, זֶה אוֹמֵר כֻּלָּהּ שֶׁלִי וְזֶה אוֹמֵר כֻּלָּהּ שֶׁלִי, זֶה יִשָּׁבַע שֶׁאֵין לוֹ בָהּ פָּחוֹת מֵחֶצְיָהּ, וְזֶה יִשָּׁבַע שֶׁאֵין לוֹ בָהּ פָּחוֹת מֵחֶצְיָהּ, וְיַחֲלֹקוּ. 

2. זֶה אוֹמֵר כֻּלָּהּ שֶׁלִי וְזֶה אוֹמֵר חֶצְיָהּ שֶׁלִי, הָאוֹמֵר כֻּלָּהּ שֶׁלִי, יִשָּׁבַע שֶׁאֵין לוֹ בָהּ פָּחוֹת מִשְּׁלֹשָׁה חֲלָקִים, וְהָאוֹמֵר חֶצְיָהּ שֶׁלִי, יִשָּׁבַע שֶׁאֵין לוֹ בָהּ פָּחוֹת מֵרְבִיעַ. זֶה נוֹטֵל שְׁלֹשָׁה חֲלָקִים, וְזֶה נוֹטֵל רְבִיעַ:

המקרה הראשון נראה די פשוט. שני אנשים נמצאים במחלוקת למי שייכת טלית (הכוונה לבגד באופן כללי), כל אחד טוען שהכל שלו, אי אפשר לקבוע מי צודק, אז נותנים לכל אחד חצי. יש כאן סיבוך קצר, כי כל אחד צריך להשבע שלפחות חצי שלו, אבל את עניין השְבועות נדחה קצת לשלב של תורת המשחקים. כמו בשאר דברים שבמשנה ובגמרא אני נוטה היכן שאפשר להתייחס לכתוב כאל דוגמה ממנה ניתן להסיק עקרונות כלליים.

המקרה השני קצת יותר מאתגר. שני אנשים במחלוקת על טלית, הראשון דורש הכל אבל השני אומר שרק חצי שלו. במקרה הראשון נכתב שעניין המחלוקת הוא על טלית שמצאו האנשים (אולי ראו אותה יחד ויש ביניהם ויכוח מי ראה קודם). המקרה השני מוזר יותר. למה אדם אומר מראש שרק חצי שלו? ואם הוא אומר שרק חצי שלו, משמע שהוא יודע של מי החצי השני (אחרת איך הוא יודע שרק חצי שלו). בכל מקרה, האינסטינקט שלי היה שהם צריכים לחלוק באופן יחסי לגודל הדרישה: אחד דורש 1 טלית, והשני דורש \frac{1}{2} טלית, כלומר ביחד הם דורשים 1\frac{1}{2} טלית. אם נחלק באופן יחסי הראשון יקבל \frac{2}{3} טלית והשני יקבל \frac{1}{3} טלית. אבל המשנה אומרת שלא כך הדבר. הראשון צריך לקבל \frac{3}{4} והשני צריך לקבל רק \frac{1}{4}. נשאלת השאלה: "מה העקרון הכללי שחבוי במשנה"?

העקרון הכללי על פי רש"י הוא: מה שבמחלוקת מחלקים באופן שווה בין בעלי המחלוקת, ומה שאינו במחלוקת נותנים למי שטוען שזה שלו. הוא כמובן לא כותב את זה בכזאת פשטות, אבל זה סיכום טוב. זה עקרון יפה ואני מסכים לו ונשתמש באותו עיקרון לאורך כל הדיון. אבל זה לא פותר את הבעיה, כי צריך להבין איך קובעים מה מצוי במחלוקת ומה לא. בדוגמה הראשונה, שניהם באים באותה דרישה לכל הטלית ואין ספק שכל הטלית נמצאת במחלוקת. במקרה השני אין ספק שעל חצי הטלית יש מחלוקת (החצי אותו דורש האדם השני). ומה לגבי החצי האחר? המשנה אינה אומרת דבר, אבל מהפתרון ניכר שהחצי האחר ניתן לזה שאמר "כולה שלי". כך יוצא שזה שדרש רק חצי קיבל מחצית בגודל המחלוקת שזה רבע טלית. ההסבר של רש"י לעניין גודל המחלוקת פשוט מאד: זה שטוען לחצי טלית מודה שהחצי האחר שייך לאדם הראשון. או באופן כללי, אם אני אומר שחלק מהרכוש שלי, סימן שאני מכיר בזכותו של האדם האחר לשאר הרכוש. הפתרון של רש"י מפריע מאד לחוש האסתטיקה שלי לגבי פתרונות כלליים. הוא מוסיף נתונים לבעיה מבלי שניתנו מראש (שאדם אחד מכיר בזכות השני על חלק מהרכוש). רש"י גם לא לקח בחשבון סיבוכים גדולים יותר של הבעיה: מה קורה כאשר שני האנשים יחד דורשים פחות מכל הטלית? מה קורה אם יש יותר משני אנשים? העקרון הכללי של רש"י נכשל בשני המקרים. לצערנו, הדוגמאות הניתנות במשנה הזאת (וגם בהמשך של בבא מציעא) כולן חלקיות ולא מלמדות על העיקרון הכללי. אז תחילה אציג את הפתרון הכללי על פי רש"י, ואחר כך אציג פתרון אלגנטי יותר שאינו מניח נתונים חדשים ואפשר להכליל אותו לכל המצבים שהזכרתי.

הפתרון הכללי על פי שיטת רש"י

הפתרון הכללי על פי רש"י מובא במאמר נחמד של פרופסור אומן על ״תורת המשחקים ודיני פשיטת רגל״. אני מציג פה רק את החלק הרלוונטי, ואת דעתי על שאר המאמר אציג (אם ירצו השם, והקוראים) בפעם אחרת.

ראובן ושמעון מתווכחים על רכוש. ראובן טוען שחלק הרכוש שלו הוא 0\le R\le 1 כלומר R הוא היחס בין מה שהוא דורש לבין כל גודל הרכוש. אם הוא אומר כולה שלי אז R=1 ואם אומר חציה שלי אז R=\frac{1}{2}. שמעון באותו אופן דורש 0\le S\le 1 מהרכוש. (אחר כך כשיכנס לוי, הוא ירצה L וכן הלאה). נסמן את מה שיקבל ראובן P_R ואת מה שיקבל שמעון P_S (וכמובן אחר כך לוי יקבל P_L). אגב, בחרתי P בשביל Proportion. על פי גישת רש"י, ראובן מוותר לשמעון על 1-R של הרכוש, ושמעון מוותר לראובן על 1-S מהרכוש. למה שנותר אחרי הויתורים נקרא M (בשביל "מחלוקת") ויוצא:

M = 1 - (1-R) - (1-S) = R+S-1

ראובן מקבל את מה שויתר עליו שמעון ועוד חצי מהמחלוקת ולכן:

P_R = (1-S) + \frac{M}{2} =  (1-S) + \frac{R+S-1}{2} = \frac{R+1-S}{2}

באותו אופן שמעון מקבל את מה שויתר עליו ראובן ועוד חצי מהמחלוקת:

P_S = (1-R) + \frac{M}{2}  = \frac{S+1-R}{2}

קודם כל, הבטחתי משוואות, אז הנה קיימתי. חדי עין ישימו לב שבהחלט יתכן שהמחלוקת M תהיה שלילית. זה קורה אם ראובן ושמעון ביחד דורשים פחות מכל הרכוש (היינו R+S<1). אפשר לפטור מקרים כאלה כלא מעניינים (אין באמת מחלוקת). ניתן לכל אחד את מה שהוא דורש ואת היתרה ניתן לצדקה, או לדיינים, וכולם שמחים. חדי עין עוד יותר ישימו לב שאין צורך לשנות את הפתרון כי הפתרון המתקבל עדיין הגיוני (כלומר כל אחד מקבל חלק שאינו קטן מאפס או גדול מכל הרכוש, וסכום החלקים שהם מקבלים נשאר בדיוק 1). אבל זה לא אסתטי, ומה שאינו אסתטי צורם לחוש הצדק שלי. ועדיין אין תשובה לשאלה: מה עושים כאשר נכנס לוי לתמונה. גם אם ראובן מוותר על 1-R על איזה חלק הוא מוותר לשמעון ועל איזה חלק הוא מוותר ללוי?

אגב, תרגיל לקורא: יש לוודא שהפתרון תואם את התוצאה מהמשנה. כלומר כאשר שניהם אומרים כולה שלי, או R=S=1 אז יוצא שחולקים בשווה, או P_R=P_S=\frac{1}{2}. ובמקרה השני יש לבדוק שכאשר R=1, S=\frac{1}{2} אז P_R=\frac{3}{4} וגם P_S=\frac{1}{4}.

הפתרון הכללי על פי שיטת Pappa Quail

אֶחָד אוֹחֵז בְּטַלִּית, זֶה אוֹמֵר אֲנִי מְצָאתִיהָ, זֶה אוֹמֵר חֶצְיָהּ שֶׁלִי, מַה עוֹשִׂים?

ראובן אומר שחלק הרכוש שלו הוא 0\le R\le 1. אין שם אף אחד אחר, אז למי הוא מוותר על 1-R? אני אומר שייקח R ואת השאר יתן לצדקה. ואיזה צד של הטלית יקח? המשנה אינה אומרת איזה חלק הוא דורש, רק את הגודל. שיקח חלק אקראי, הרי מה זה חשוב?

מסתבר שזה חשוב ברגע שנכנס שמעון לתמונה. נניח ששניהם טוענים "חציה שלי": אולי הם מתווכחים על אותו החצי, ובכלל את החצי האחר יתנו לצדקה? הפתרון של רש"י אינו כללי מספיק כי הוא מניח שחייבים לחלק את כל הטלית לשני הדורשים ולא נותר דבר. על פי המשנה (המקורית), לא נאמר איזה חלק מסוים רוצה זה שטוען "חציה שלי". ההנחה היא שהוא יסתפק בכל מחצית שהיא. ניתן להכליל את העיקרון הזה (של חוסר הידע) מבלי להניח שמי מהם מכיר בזכות האחר לחלק מהרכוש.

העיקרון אותו אני מציע הוא עיקרון הסתברותי. נניח שמישהו מצביע על נקודה אקראית בטלית ושואל "מי אומר שהנקודה הזאת שלו?" אם ראובן טוען "כולה שלי" אז ודאי לכל נקודה יטען שהיא שלו. ההסתברות שהוא יאמר שזה שלו היא 1. אם שמעון טוען "חציה שלי" ואינו טוען לחלק מסוים אלא רק לגודל החלק, אז על כל נקודה אקראית יש הסתברות של 50% שלפי טענתו היא שלו והסתברות של 50% שאינה שלו. באופן כללי, ראובן טוען שנקודה אקראית היא שלו בהסתברות R ושמעון טוען שהיא שלו בהסתברות S. הטענות של שניהם בלתי תלויות זו בזו ולכן ההסתברות ששניהם טוענים לנקודה מסוימת היא R\cdot S. שטח המחלוקת הוא בדיוק זה: M=R\cdot S. באותו אופן גודל החלק שראובן טוען לו וששמעון אינו טוען לו הוא R\cdot (1-S) וגודל החלק ששמעון טוען לו אבל ראובן אינו טוען לו הוא S\cdot (1-R). לסיום: יש גם חלק ששניהם מוותרים עליו בגודל (1-R)\cdot (1-S). כמו קודם, העיקרון הוא ששטח המחלוקת מתחלק שווה בשווה בין החולקים עליו ובמקרה של שני אנשים כל אחד מהם מקבל ממנו \frac{M}{2}=\frac{RS}{2}. התוצאה הסופית היא:

P_R = R(1-S)+\frac{RS}{2} = R\left(1-\frac{S}{2}\right)
P_S = S(1-R)+\frac{RS}{2} = S\left(1-\frac{R}{2}\right)

תרגיל לקורא: יש לוודא שהפתרון תואם את התוצאה מהמשנה (כמו שעשינו קודם, וזה יוצא בסדר).

עכשיו נכנס לוי ודורש את חלקו בגודל L. כמו ראובן ושמעון, ללוי יש הסתברות L בכל נקודה לטעון שהיא שלו והסתברות 1-L לטעון שאינה שלו. אפשר לפתור לפי אותו עיקרון אבל יש הרבה יותר אופציות למחלוקת. אסמן את השטח אותו דורשים כל השלושה M_{RSL}. באופן יותר כללי כל שטח יסומן באות M והאינדקס יציין מי מהחולקים טוען שזה שלו. אז M_{RL} הוא שטח במחלוקת בין ראובן ולוי אבל שמעון טוען שאינו שלו. באותו אופן M_S הוא השטח אותו דורש רק שמעון, ולסיום M_\emptyset הוא השטח שאין לו טוען כלל. יוצא לדוגמה M_{RS}=RS(1-L). עוד לדוגמה, M_{RSL}=RSL. כאמור קודם החלקים אותם לוקחים המעורבים בדבר מסומנים P_R, P_S, P_L ונוסיף את החלק שניתן לצדקה (או לדיינים): P_\emptyset. נזכור גם את עיקרון החלוקה: מה שבמחלוקת בין שלושה, כל אחד מהם מקבל שליש ממנו. מה שבמחלוקת בין שניים, כל אחד מהשניים מקבל חצי ממנו וכן הלאה. הפתרון הכללי הוא:

P_R = \frac{M_{RSL}}{3} + \frac{M_{RS}}{2} + \frac{M_{RL}}{2} + M_R \\ = \frac{RSL}{3} + \frac{RS(1-L)}{2} + \frac{RL(1-S)}{2} + R(1-S)(1-L) \\ = R\frac{2SL+3S-3SL+3L-3SL+6 -6S-6L+6SL}{6} \\ = R\left(1-\frac{S+L}{2}+\frac{SL}{3} \right)

ובאותו אופן:

P_S = S\left(1-\frac{R+L}{2}+\frac{RL}{3} \right)
P_L = L\left(1-\frac{R+S}{2}+\frac{RS}{3} \right)

ולסיום החלק הניתן לצדקה הוא:

P_\emptyset = M_\emptyset = (1-R)(1-S)(1-L)

אפשר גם לשים לב שאם לוי אינו רוצה להשתתף, כלומר L=0 הפתרון (לדוגמה של ראובן) הופך להיות כמו הפתרון של שניים אוחזין:

P_R = R\left(1-\frac{S+L}{2}+\frac{SL}{3} \right) = R\left(1-\frac{S+0}{2}+\frac{S0}{3} \right) = R\left(1-\frac{S}{2}\right)

כמובן שניתן להרחיב את הפתרון באותו אופן ליותר משתתפים. זה לא פשוט למצוא פתרון כללי לפי שיטת רש"י. העקרון שאדם מכיר בזכות האחר לא ממש עובד כאשר יש יותר מאחר בודד. הדרך היחידה בה אפשר איכשהו לסדר את זה היא למצוא קומבינציה בה כל זוג אנשים חולק לפי עקרון רש"י. זה לא פשוט, אבל פרופ' אומן מצא פתרון כזה במאמרו. בכל מקרה אני מעדיף את השיטה ההסתברותית. כפי שראינו, זה אלגנטי יותר, ואינו דורש תוספת נתונים כדי להגיע לפתרון.

ועכשיו נשחק בשְבועות

זֶה יִשָּׁבַע שֶׁאֵין לוֹ בָהּ פָּחוֹת מֵחֶצְיָהּ, וְזֶה יִשָּׁבַע שֶׁאֵין לוֹ בָהּ פָּחוֹת מֵחֶצְיָהּ

יש משהו מאד מוזר בהתעקשות של המשנה על שבועה. בהמשך של בבא מציעא יש מקרים בהם יש צורך בשבועה ומקרים בהם אין צורך, ובגמרא יש דיונים לגבי סוג השבועה (מסתבר שיש כמה סוגים). ההסבר המקובל (ראה רש"י לדוגמה) הוא שזה נוצר כדי שלא יתנפלו אנשים ברחוב זה על זה וידרשו חצי מבגדיהם. זה ממש לא מובן לי. כל אחד מהצדדים טוען "כולה שלי". הם כבר מסתכנים בעדות שקר (עברה על אחת הדברות). אין על זה עונש מספיק חמור שצריך לדרוש תוספת שבועה? המסקנה המתבקשת היא שהעונש על שבועת שקר חמור יותר מהעונש על עדות שקר. ונשאלת השאלה למה לא ידרשו שבועה על כל מה שהם דורשים ולא רק על החלק אותו הם מקבלים? כנראה לא רצו שלפחות למראית עין תהיה שבועת שקר, אז נותנים להם להשבע רק על החלק אותו הם מקבלים בפועל. זה גורם לי לחשוב שהמצב המוסרי של עם ישראל באותה תקופה לא היה מזהיר במיוחד אם עדות שקר היתה מעשה של יום יום.

בכל מקרה עניין השבועות מאפשר לי לתת חידה בתורת המשחקים (למי שמחפש נושא לעבודת מחקר). נתחיל עם דוגמה פשוטה. ראובן הוא הראשון לשחק. הוא אומר שהטלית כולה שלו. שמעון משחק שני. הוא מאמין שרק חצי טלית שלו. אבל הוא רוצה את כל החצי. אם יאמר "חציה שלי" הוא יקבל רק רבע. אם ישקר ויאמר "כולה שלי" יקבל חצי טלית. הוא רק צריך להשבע על חצי טלית, כך שמבחינתו זו לא שבועת שקר. לכאורה, קיבל מה שרצה, אבל נאלץ לתת עדות שקר בשביל זה ועל זה יש עונש קטן (יחסית לעונש של שבועת שקר). מה המצב האופטימלי? זה תלוי בשווי הטלית לעומת גודל העונש. לדוגמה: נניח טלית שווה 100 שקלים ועדות שקר עולה 20 שקל. אם שמעון דובר אמת, אז יקבל רק רבע טלית ששווה 25 שקלים. אם ישקר לחלוטין (כולה שלי) יקבל חצי טלית (50 שקלים) אבל יענש 20 שקלים ובסך הכל יוצא עם 30 שקל. כדאיות השקר תלויה במחירון…

בדוגמה הקודמת לא היתה אפשרות לשמעון להשבע שבועת שקר. נניח שבאמת היתה לו רק שליש טלית. אם יאמר "כולה שלי" יצטרך להשבע שחצי שלו, זו שבועת שקר והעונש עליה גדול (נניח 200 שקלים). אם הטלית יקרה מאד (נניח כולה תכלת ושווה אלף שקל) אז כדאי אפילו להשבע שקר.

עכשיו נשחק מנקודת מבטו של ראובן. הוא מאמין שחצי טלית שלו, אבל הוא פותח במשחק. אם יטען "כולה שלי" יכול שמעון לטעון לחלק קטן ואז יצטרך ראובן להשבע שבועת שקר על יותר מחצי טלית. בהתאם למחירון זה יכול להיות סיכון סביר, או סיכון גדול. הוא אינו יודע מה שמעון יעשה, אבל יכול להניח ששמעון גם רוצה מקסימום רווח. חידה ראשונה: מה האסטרטגיה של ראובן למקסימום רווח בהנחה ששמעון גם רוצה מקסימום רווח לעצמו.

משחק נוסף: משחקים לפי תור. ראובן טוען לחלק מהטלית, ואחריו שמעון. ראובן יכול אחר כך לקבל את התוצאה, או לומר "שיקרתי", לשלם את העונש על שקר ולתת הצעה חדשה. אם יש הצעה חדשה, אז לשמעון יש הזדמנות לקבל את המצב, או להודות ששיקר, לשלם את העונש ולטעון מחדש. חידה: איזה אסטרטגיה נותנת מקסימום רווח לראובן?

שוויה של חצי טלית ומשפט שלמה

יש בעברית מילה המתארת את חצי הבגד. קוראים לזה "סמרטוט". אני מניח שבעבר הרחוק (המתואר במשנה) לחומרי גלם היה ערך רב, אפילו לחומר גלם שהוא סתם חתיכת בד. אבל עדיין, חולצה אחת גם אז היתה שווה יותר משני חצאי החולצה גם יחד. אם מחלקים את הבגד, אז שני האנשים שבמחלוקת מפסידים. זה קצת מזכיר את משפט שלמה, כפי שמסופר במלכים א' ג':

אָז תָבֹאנָה שְתַיִם נָשִים זֹנוֹת אֶל הַמֶלֶךְ, וַתַעֲמֹדְנָה לְפָנָיו. וַתֹאמֶר הָאִשָה הָאַחַת: בִי אֲדֹנִי, אֲנִי וְהָאִשָה הַזֹאת יֹשְבֹת בְבַיִת אֶחָד, וָאֵלֵד עִמָהּ בַבָיִת. וַיְהִי בַיּוֹם הַשְלִישִי לְלִדְתִי, וַתֵלֶד גַם הָאִשָה הַזֹאת; וַאֲנַחְנוּ יַחְדָו, אֵין זָר אִתָנוּ בַבַיִת זוּלָתִי שְתַיִם-אֲנַחְנוּ בַבָיִת. וַיָמָת בֶן הָאִשָה הַזֹאת, לָיְלָה, אֲשֶר שָכְבָה עָלָיו. וַתָקָם בְתוֹךְ הַלַיְלָה וַתִקַח אֶת בְנִי מֵאֶצְלִי, וַאֲמָתְךָ יְשֵנָה, וַתַשְכִיבֵהוּ בְחֵיקָהּ; וְאֶת בְנָהּ הַמֵת הִשְכִיבָה בְחֵיקִי. וָאָקֻם בַבֹקֶר לְהֵינִיק אֶת בְנִי, וְהִנֵה מֵת; וָאֶתְבּוֹנֵן אֵלָיו בַבֹקֶר, וְהִנֵה לֹא הָיָה בְנִי אֲשֶר יָלָדְתִי. וַתֹאמֶר הָאִשָה הָאַחֶרֶת: לֹא כִי בְנִי הַחַי וּבְנֵךְ הַמֵת; וְזֹאת אֹמֶרֶת: לֹא כִי בְנֵךְ הַמֵת וּבְנִי הֶחָי; וַתְדַבֵרְנָה לִפְנֵי הַמֶלֶךְ. וַיֹאמֶר הַמֶלֶךְ: זֹאת אֹמֶרֶת, זֶה בְנִי הַחַי וּבְנֵךְ הַמֵת, וְזֹאת אֹמֶרֶת לֹא כִי בְנֵךְ הַמֵת וּבְנִי הֶחָי.
וַיֹאמֶר הַמֶלֶךְ: קְחוּ לִי חָרֶב; וַיָבִאוּ הַחֶרֶב לִפְנֵי הַמֶלֶךְ. וַיֹאמֶר הַמֶלֶךְ: גִזְרוּ אֶת הַיֶלֶד הַחַי לִשְנָיִם, וּתְנוּ אֶת הַחֲצִי לְאַחַת וְאֶת הַחֲצִי לְאֶחָת. וַתֹאמֶר הָאִשָה אֲשֶר בְנָהּ הַחַי אֶל הַמֶלֶךְ, כִי נִכְמְרוּ רַחֲמֶיהָ עַל בְנָהּ, וַתֹאמֶר: בִי אֲדֹנִי, תְנוּ לָהּ אֶת הַיָלוּד הַחַי, וְהָמֵת אַל תְמִיתֻהוּ; וְזֹאת אֹמֶרֶת: גַם לִי גַם לָךְ לֹא יִהְיֶה, גְזֹרוּ. וַיַעַן הַמֶלֶךְ וַיֹאמֶר: תְנוּ לָהּ אֶת הַיָלוּד הַחַי, וְהָמֵת לֹא תְמִיתֻהוּ; הִיא אִמּוֹ. וַיִשְמְעוּ כָל יִשְרָאֵל אֶת הַמִשְפָט אֲשֶר שָפַט הַמֶלֶךְ וַיִרְאוּ מִפְנֵי הַמֶלֶךְ, כִי רָאוּ כִי חָכְמַת אֱלֹהִים בְקִרְבּוֹ לַעֲשׂוֹת מִשְפָט.

גם הסיפור על שלמה נראה מופרך מיסודו. זאת צריכה להיות אשה פסיכוטית לחלוטין שתסכים להרוג תינוק רק כדי שלאשה השניה לא יהיה. מה היה עושה המלך אם שתיהן היו אומרות שלא יהרוג את התינוק? בכל מקרה, הסיפור במשנה הוא על טלית. ברגע שהוחלט שמחלקים את הטלית (נניח לחלקים שוים), נשאלת השאלה האם ניתן למנוע את השחתת הבגד וירידת ערכו. אפשר כמובן למכור את הטלית ולחלק את הכסף. או שאפשר לבצע מכירה פומבית הדדית. כל אחד מציע סכום כסף עבור חצי הטלית שהוא רוצה לרכוש מהאחר. הם עושים זאת מבלי שהאחר ידע (נניח שלוחשים באוזנו של הדיין במקרה זה). אחר כך מגלים את התוצאה. אם יש הסכמה ביניהם שאחד יקנה והשני ימכור אז זה מה שעושים. אם לא (שניהם רוצים לקנות, או שניהם למכור, או שאינם מרוצים מהצעת היריב) אז עושים סיבוב נוסף. בסיבוב הנוסף כל אחד יודע מה היה האחר מוכן לשלם בפעם הקודמת. לכן יכולים להתאים את ההצעה. ממשיכים לשחק עד שיש הסכמה.

שאלה של תורת המשחקים: מצא אסטרטגיה שמביאה למקסימום שווי לזה שמוכר.

סוף דבר

מי ששרד עד פה רשאי לקבל הסבר קצר: פעם שמעתי ברדיו התחלת ראיון עם השחקנית סנדרה בולוק. המראיין פתח בהכרזה שלקראת הראיון צפה בכל סרטיה. התשובה שלה היתה מיידית: “I’m Sorry”. אז מה שהיא אמרה….

7 תגובות בנושא “דף יומי אלטרנטיבי – קצת מתמטיקה

  1. אורי
    לא הבנתי את כל המשוואות אבל כן את הרעיון להשתמש בהסתברות כפתרון מתמטי אלגנטי (אם כי לא תרגומו לרעיון הסתברות לבעלות על נקודה בטלית אלגנטי פחות). אני מבינה ממך שעומק הנסיון של חז"ל לתת פתרון כללי מוצהר לכל אבטיפוס של בעיה, הוא מרתק מתמטית ואינטלקטואלית, אבל יוצר כל כך הרבה בעיות חדשות (רבע טלית כמטפחת אף). הכי אהבתי את רעיון המכירה. בכל מקרה, אלעזר בן ערך, במעיין המתגבר, אולי היה כותב מאמר כזה אם לא היה עובר לקליפורניה….
    נהניתי מאד

    אהבתי

  2. קצת איבדתי אותך… אבל מיד בהחלה נזכרתי במה שנאמר ב"מה יש":
    שניים אוחזים בטלית
    זה אומר: כולה שלי
    וזה אומר: כולה טלית… אפשר לחשוב בבא מציאה

    אהבתי

    1. מעניין איפה איבדת אותי, כי החשבון פה די פשוט.
      תודה על איזכור "מה יש" – קטע שלא הכרתי. מעניין אם אפשר להשיג הקלטות מלאות של התכניות…

      אהבתי

  3. ואחרי כל הפלפולים האלה חז״לנו עוד מעזים לטעון שאין לסמוך על עדות אשה … שילכו הטוענים לטלית להתעטף בה יחדיו וידגימו לעולם שיתוף פעולה מהו.

    אהבתי

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

מתחבר ל-%s