דף יומי אלטרניטיבי – עוד יותר מתמטיקה

הקדמה

כתבתי בעבר על עניין מתמטי (לדעתי) בתלמוד בנושא "שניים אוחזין". הנושא הפעם משתמש בתוצאות מהדיון הקודם. מומלץ להבין קודם את הרשומה הקודמת, אבל לא חייבים.

במסכת כתובות דף צג  יש דיון בנושא "מי שהיה נשוי שלש נשים ומת". הנושא הכללי יותר הוא עניין חלוקת חובות מעזבון של מי שנפטר (או בפשיטת רגל) כאשר העיזבון אינו מספיק לכסות את כל החובות. העניין שונה מהותית מעניין "שניים אוחזין" כי אין כל מחלוקת על צדקת הדרישה של כל בעל חוב, או במקרה הספציפי: של כתובות הנשים. יש דרכים שונות לחלוקה, וכל אחת "צודקת" באופן אחר. לצורך העניין, אין "צדק" אבסולוטי, אלא דיון על איזו שיטה משיגה תוצאות רצויות יותר. הבעייה במשנה זו היא שרבי נתן נותן שלש דוגמאות לחלוקה, ובמשך אלפי שנים לא ידעו חכמים מה העיקרון שהנחה אותו. בלי לדעת מה העיקרון אי אפשר ליישם את השיטה בבית דין. בכל מקרה, על פי תלמוד בבלי רבי (היינו רבי יהודה הנשיא) חלק על דעתו של רבי נתן וקבע שיש לחלוק באופן שווה. וגם על זה יש מחלוקת: האם התכוון שווה ממש (כל אחת מקבלת אותו סכום אלא שלא מקבלת יותר מכתובתה – עפ"י רש"י ורמב"ם) או חלוקה יחסית (ביחס שווה לגודל הכתובה – עפ"י רבי חננאל). נציין כאן שההלכה היא עפ"י חלוקה אחידה לפי רמב"ם ,אך העיקרון המקובל בנושא חלוקת חובות לנושים לפי דין אזרחי הוא עיקרון החלוקה היחסית לפי רבי חננאל.

פרופ' ישראל אומן יחד עם מיכאל מישלר פירסמו מאמר בשנת 1985 בו הציעו הסבר אפשרי לשיטתו של רבי נתן. תחילה הם מבארים פתרון כללי אפשרי לסוגיית "שניים אוחזין" אבל רק עבור שני אנשים. אחר כך הם מראים שהדוגמאות שמביא רבי נתן תואמות שיטת חלוקה בה אם נבחר כל זוג שהוא מתוך שלש הנשים ונסתכל על סכום הכסף שקיבלו במשותף, נראה שהכסף חולק לפי העיקרון שביארו עבור "שניים אוחזין". מכאן הגיעו למסקנה שזו כנראה היתה שיטתו של רבי נתן: הינו מציאת פתרון שתואם לכל זוג נושים את עיקרון "שניים אוחזין". הם מראים תוך שימוש במתמטיקה יחסית פשוטה לימינו אבל לא נגישה כלל לתקופת התלמוד שתמיד יש פתרון שתואם "שניים אוחזין" ושהפתרון יחיד. זה אומר ששיטתו של רבי נתן סבירה לפחות מבחינה שבית דין יכול ליישם אותה.

במאמר זה אני מציע הסבר שונה לכוונתו של רבי נתן. לדעתי ההסבר פשוט יותר, אינו צורך שימוש ב"תורת המשחקים" וסביר להניח שהיה נגיש למישהו בדורו של רבי נתן. ובזה אני מציע (רחמנא לצלן) פירוש נוסף של המשנה שאינו על פי הגמרא ואינו על פי ראשונים ופוסקים ולפיכך נחשב לחילול הקודש. פרופ' אומן קיבל תגובות חריפות מאד בהם גם הוא הואשם בחילול קודש כזה וענה עליהם פעמיים בענווה ובכבוד רב למגיבים. כל הקישורים למאמרים המקוריים, לתגובות ולתגובות נגד ושאר חומר מעניין יש במקום אחד באתר "דף יומי" ואין צורך להוסיף כאן מראי מקום נוספים.

מהי משנת רבי נתן

חובה עלי לציין שמאמרו של פרופ' אומן באתר "דעת" בנושא "תורת המשחקים ודיני פשיטת רגל" (שהוא סיכום של מאמר יותר מקיף) קריא ביותר ומסביר את הדברים בבהירות. כל הרוצה לדעת (אפילו רק את המשנה ולא את פירושו של פרופ' אומן), טוב יעשה אם יקרא שם קודם, כי לא אפרט פה את הדברים באותה בהירות.

המשנה קצת קשה לקריאה כי דברים שוודאי היו ידועים לתינוקות של התקופה ההיא, אינם ידע כללי לתקופתנו. אז צריך לזכור ש"מנה" זה "מאה" וששקל זהב היה שווה ערך לעשרים וחמישה שקלי כסף. ובנוסף, אם לא מציינים זאת בפירוש אז מדובר בכסף ולא בזהב. אז בקיצור זה מה שרבי נתן קבע: נניח שאיש נשא שלוש נשים ומת. כל אחת מהנשים היא בעלת חוב על העיזבון (מה שרשום בכתובתה). הבעייה היא מה עושים אם אין העיזבון מספיק לשלם את כל הכתובות? (אם היה מספיק, אז קודם מסלקים את כל החובות ואחר כך מחלקים מה שנשאר ליורשים). רבי נתן נותן דוגמה מחולקת לשלושה חלקים. נניח שלאשה ראשונה כתובה של מאה, לאשה השנייה מאתיים ולשלישית כתובה של שלוש מאות. בתחילה, אם אין העזבון מספיק אפילו לכתובה הקטנה (מאה) אז חולקים לשלושה חלקים שווים. אם העיזבון מספיק בדיוק לתת חצי כתובה לכל אחת (סך כל הכתובות הוא שש מאות – נניח שהעיזבון בגודל שלוש מאות) אז נותנים חצי כתובה לכל אחת (הראשונה מקבלת חמישים, השנייה מאה והשלישית מאה וחמישים). ובאמצע מוסיף דוגמה: מה קורה אם העיזבון הוא של מאתיים. במקרה זה אומר רבי נתן שניתן חמישים לראשונה והאחרות יקבלו 75 כל אחת.

sheqel-2
שקלים – צילום אילוסטרציה

תחילה יש לציין שהדיון פה הוא על שלוש אלמנות שנכנסות למחלוקת במעמד שווה (כך גם מסביר הרמב"ם). כל מה ששונה בהן הוא גודל הכתובה. אין לאחת עדיפות על השנייה. זה לא אמור להיות מקרה נפוץ אפילו אז (לא כל שכן היום). סביר להניח שהאשה השנייה בדרך כלל יודעת שבעלה לעתיד כבר נשוי לאחרת וודאי יש לה כתובה. היא צריכה לקחת זאת בחשבון לפני הנישואין ולכן ממידת הצדק שמסלקים את כתובת האשה הראשונה קודם, ואחר כך את של השנייה וכו'. מצב של מעמד שווה ייתכן, כי יכול להיות שאותו איש לא טרח לספר לנשים על קיומן של נשים קודמות (אולי הסתכסכו, או גרו בנפרד, או שלא היה איש הגון). יש עוד אפשרויות, אז זו לא משנה סתמית: זה יכול לקרות.

לפי תלמוד בבלי רבי אומר שהוא חולק על המשנה ואומר שמחלקים בשווה. בימינו היו צועקים חמס על מי שאפילו מהרהר על צדקת המשנה כי מקובל שאלה דברי אלוהים. אבל מסתבר שלרבי יהודה הנשיא היה מותר. אז איך מחלקים שווה? אומרים רש"י ורמב"ם ורבים אחרים שמחלקים חלוקה אחידה (כל אחת מקבלת אותו הסכום) ומלבד שלא מקבלת יותר מכתובתה. רמב"ם מסביר: חולקים בשווה עד שראשונה מקבלת את כל כתובתה. מכאן ואילך הראשונה אינה משתתפת בחלוקה וממשיכים לפי אותו עיקרון עם הנשים (או הנושים) שנותרו.

רבי חננאל קבע שרבי (יהודה הנשיא) לא ידע למה התכוון רבי נתן ולכן קבע אחרת. הוא מבחין שבמקרה בו העיזבון הוא שלוש מאות, חלוקה שווה נותנת לכל אחת מאה. זה אומר שהראשונה מקבלת את כל כתובתה, והשלישית פחות מחצי ואיפה פה הצדק? אז הוא אומר שוודאי רבי התכוון לחלוקה יחסית לפי גודל הכתובות (היינו הראשונה מקבלת שישית, השניה שליש והשלישית חצי). כך זה יוצא לרבי נתן בדוגמה של עיזבון בגודל שלוש מאות, אבל זו לא שיטת רבי נתן בשאר מקרים. ההלכה קודם כל נקבעה לפי רבי, ומבין מספר אפשרויות נקבעה לפי חלוקה אחידה שהסביר הרמב"ם.

יש פה חידה מעניינת: למה התכוון רבי נתן? במשך שנים רבות מאד לא ידעו והדיון התלמודי רק מבלבל יותר משהוא מפרש. (שמואל מנסה לתרץ את זה על ידי חלוקה לפי קדימות: הראשונה והשניה חולקות קודם ואחר כך השניה והשלישית וזה לא הגיוני). עד כדי כך שרבי יצחק בן יעקב אלפסי הרי"ף (מאה י"א) אמר שלא יודעים וזהו.

עיקר הקושי הוא במקרה של עיזבון בגודל מאתיים. כשהעיזבון קטן מאד, לפי רבי נתן יש חלוקה אחידה (כמו שמתאר רמב"ם את רבי). במקרה של עיזבון שהוא מחצית סכום הכתובות, חלוקה יחסית (על דרך רבי חננאל). ובמקרה שהעיזבון בינוני, יש לרבי נתן מעין פתרון ביניים שלא הצליחו להבין את העיקרון שלו.

קצת סימונים מתמטיים כדי להקל על הדיון

יש מספר נשים (או נושים) ולכל אשה (או נושה) סכום מסוים המגיע לה (לו) – במקרה של המשנה זה הסכום הכתוב בכתובת אותה אשה. נסמן את מה שמגיע לאשה הראשונה A_1 לשניה A_2 וכן הלאה עד האחרונה A_n. יש גם את הסכום הקיים לחלוקה (גודל העיזבון) שנסמן אותו באות S. לסיום יש גם פתרון לחלוקה: האשה הראשונה מקבלת X_1 \ge 0, השניה מקבלת X_2 \ge 0 וכן הלאה.

יש מספר כללים ראשוניים ובסיסיים לבעיה. כל הכתובות הן מספרים חיוביים (אשה שלא חייבים לה אינה משתתפת). סכום העיזבון קטן או שווה לסך החובות (אחרת אין בעיה בחלוקה). זה אומר:

 S \le \sum_{i=1}^{n}A_i

ולסיום הפתרון חייב להיות חלוקה של כל העיזבון (אין חלק ששמים בצד כמו פתרונות אפשריים ל"שניים אוחזין"). זה אומר:

S = \sum_{i=1}^nX_i

אם נסכם את מה שאמר רבי נתן בטבלה, אז יש לנו שלוש נשים עם כתובות: A_1=100, A_2=200, A_3=300. לגדלים שונים של עיזבון S מקבלים את התוצאות הבאות:

S X_1 X_2 X_3
100 33\frac{1}{3} 33\frac{1}{3} 33\frac{1}{3}
200 50 75 75
300 50 100 150

למה התכוון רבי נתן – על פי פרופ' אומן

שוב חובה עלי לציין שמאמרו של פרופ' אומן באתר "דעת" בנושא "תורת המשחקים ודיני פשיטת רגל" (שהוא סיכום של מאמר יותר מקיף) קריא ביותר ומסביר את הדברים בבהירות.

פרופ' אומן שם לב לתכונה מעניינת של כל הדוגמאות שנותן רבי נתן. אם ניקח שתי נשים מתוך השלוש (לא משנה איזה) ודוגמה מתוך השלוש (שוב לא משנה איזה) אז החלוקה בין שתי הנשים תואמת את עקרון החלוקה של "שניים אוחזין" (על פי רש"י) וזה נכון לכל בחירה של שתי נשים ושל דוגמה. להמחשת העניין נסתכל בדוגמה שנייה (עיזבון בגודל מאתיים) ואשה ראשונה לעומת אישה שנייה. הראשונה קיבלה 50 והשנייה 75 ובסך הכל 125. כלומר שתיים אוחזות ב125 שקלי כסף, זו אומרת 100 שלי וזו אומרת 200 שלי. קודם כל, נקצץ את טענתה של השניה ל125 שקלים כי אין יותר מזה לחלק. הראשונה מקבלת לפי הנוסחה \frac{100-125+125}{2}=50 . השנייה מקבלת \frac{125-100+125}{2}=75. (יש לשים לב שהנוסחה המקורית היא \frac{x-y+1}{2} אבל 1 פה מציין את כמות המשאב לחלוקה, היינו טלית אחת או 125 שקלי כסף).

הוא קורא לחלוקה שמקיימת תנאי זה חלוקת תואמת "שניים אוחזין" ומראה שיש תמיד יש בדיוק חלוקה אחת כזאת. הדרך להגיע לחלוקה כזאת אינה מסובכת, אבל נחלקת לשני תנאים. חלק ראשון: אם סך העיזבון אינו עולה על מחצית סך כל הכתובות. (כלומר בדוגמה של רבי נתן עיזבון בין אפס לשלוש מאות). אם כך אז מתחילים לחלק את הכסף טיפין טיפין שווה בשווה לכל השלוש עד שהראשונה (זו עם הכתובה הקטנה ביותר) מקבלת חצי כתובתה. מכאו ואילך האישה הראשונה לא משתתפת בחלוקה וממשיכים לחלק שווה בשווה בין האחרות עד שהשניה מקבלת חצי כתובתה. וכן הלאה עד שנגמר הכסף.
חלק שני: העיזבון גדול מחצי סך הכתובות אך לא יותר מכל סך הכתובות. (כלומר בדוגמה של רבי נתן עיזבון בין שלוש מאות ושש מאות). יש שתי דרכים לראות את הפתרון. האחת, עושים את התהליך של חלק ראשון עד שכל אישה מקבלת חצי כתובתה. אחר כך ממשיכים טיפין טיפין אבל בסדר חלוקה הפוך. כלומר השקל מספר 301 מחולק למי שקיבלה שקל מספר 300, שקל 302 מחולק למי שקיבלה את השקל מספר 299 וכן הלאה עד שהשקל מספר 600 ניתן למי שקיבלה את השקל מספר 1. דרך שנייה היא לחלק את ההפסדים באותה דרך שמחלקים את הכסף. היינו התמונה המשלימה של הבעייה.

יש לי ספק רב אם רבי נתן ראה כך את הדברים לפחות לגבי החלק השני של הפתרון. בכל מקרה הוא אינו מביא דוגמה שצריכה את הפתרון הזה וכך אין יודעים אם הבין ואם לאו. כיוון שהפתרון של החלק השני אינו טריוויאלי ושונה מהותית מהחלק הראשון, סביר להניח שאם היה יודע עליו היה מביא דוגמה.

יש לי גם ספק אם רבי נתן התכוון לחלוק לפי "שניים אוחזין" או אם אפילו ידע שהדוגמאות שהביא תואמות "שניים אוחזין". העיקרון המוסרי שונה בעניין הנשים. הרי אין עוררין שהחוב אותו הן דורשות הוא חוב אמיתי. ולמרות כל זאת זהו פתרון אלגנטי ותגלית מבריקה. על כל טענות אלה עונה פרופ' אומן בתשובות למקטרגיו. תחילה הוא מראה שיש שחשבו ש"שניים אוחזין" הוא כלל דומה למשנה זו (הוא מצטט את האי גאון). זה חשוב לו, כי הוא משחק לפי הכללים של "אבותינו ורבינו חכמים יותר" ולכן צריך לטעון שלא חידש יותר מדי. הוא גם טוען שהפתרון אינו צורך מתמטיקה מסובכת ואפילו שההוכחה לפתרון יחיד מספיק פשוטה שרבי נתן היה יכול להמציא אותה. כאן אני חולק על פרופ' אומן.

למה התכוון רבי נתן – על פי עבדכם הנאמן

שני אנשים הולכים אל הרב. יש ביניהם ויכוח סוער ודעותיהם הפוכות. אומר הרב לראשון שישטח את טענותיו. הרב מצהיר שאלה טענות משכנעות וש"הוא צודק". שוטח האיש השני את טענותיו. גם הוא משכנע ביותר ואומר לו הרב: "אתה צודק". שואלת הרבנית: "רבי, איך זה יתכן ששניהם צודקים?" עונה הרב: "גם את צודקת". (הרסתי את הבדיחה, פחות או יותר מהזכרון – נלקח כמובן מספר הבדיחה והחידוד של דרויאנוב, כמו כל שאר הבדיחות היהודיות בעולם).

רבי יהודה הנשיא אמר חולקים בשווה. על פי רש"י ורמב"ם הכוונה לשווה ממש ולא לפי גודל הכתובה, מלבד שלא תקבל אישה יותר מכל הכתובה. במקרה של הדוגמאות של רבי נתן, אם העיזבון הוא 300 שקלים, כל אישה מקבלת מאה. הראשונה אינה מתפשרת כלל ומקבלת את כל הכתובה. השלישית מקבלת רק שליש הכתובה. רבי חננאל טוען לחוסר צדק. הוא אומר שלא יתכן שזה מה שרצה רבי יהודה הנשיא. הוא מציע לחלק באופן יחסי, לא משנה מה גודל הכתובה.

אומר האיש הראשון: שלוש נשים יצטרכו להתקיים מן העיזבון. ידוע שלפחות אחת מהן חושבת שאפשר להתקיים ממאה שקלים. טוב יהיה לחברה אם כל הנשים יוכלו להתקיים מהעיזבון. אם ישאר עוד כסף, ניתן למי שמגיע לה, אבל אם כל אחת מקבלת מאה שקלים אף אחת לא תרעב ללחם. אומר לו הרבי: אתה צודק. אומר האיש השני: אין מספיק לתת לכולן. זה אומר שצריך פשרה: כולן מוותרות על משהו. אם נחלק באופן שווה ממש, אחת מתפשרת על הרבה ואחת לא מתפשרת כלל. אם נחלק באופן יחסי גם ההפסדים יהיו יחסיים. אומר לו הרבי: גם אתה צודק. שואל אני: איך זה ששניהם צודקים? כאן עונה הרבי (שהוא רבי נתן):

כשיש מעט כסף, צריך על פי מידת הרחמים לחלק באופן שווה כדי שכולן תוכלנה להתקיים מהעיזבון. כשיש הרבה כסף, כולן יוכלו להתקיים מחלוקה יחסית, אז צודק יותר שכולן יתפשרו ותהיה חלוקה יחסית. ומה עושים באמצע? פיתרון ביניים.

האם יש פתרון כזה? הפיתרון צריך להתקיים תחת אילוצים של חלוקה צודקת. אז נתחיל לפרט עקרונות צדק זה אחר זה ונראה לאן זה מוביל. ונשתדל מאד שעקרונות הצדק יהיו כאלה שכל אדם סביר יסכים להם וגם שיהיו פשוטים ככל שאפשר.

עקרון אחד: שלא לנשל אשה לחלוטין מכתובתה. הרעיון הוא שלא צודק אם אחת הנשים מקבלת כסף ואחת לא מקבלת דבר. קיבלנו על עצמנו שנכנסו לחלוקה במעמד שווה. אם לא היו במעמד שווה, היינו יכולים לתת עדיפות לאחת ואולי האחרת לא מקבלת דבר. כלומר אם S > 0 אז גם X_i>0.

עיקרון שני: שכל הנשים מתפשרות על כתובתן. אם אחת יוצאת עם כל כתובתה בידה ואחרת מפסידה, שוב יש להן מעמד שונה למרות שנכנסו לדין במעמד זהה. כלומר אם X_i < A_i אז גם X_j < A_j.

עיקרון שלישי: שלא תהיה חלוקה הפוך מגודל הכתובות. זה אומר שאם כתובת רחל גדולה מכתובת לאה לא תקבל רחל פחות מלאה. כלומר אם A_i \le A_j אז גם X_i \le X_j.

עיקרון רביעי: שיטת הרצף. אם עבור גודל עיזבון מסוים מקבלת אישה סכום מסוים, אז עבור עיזבון גדול יותר תקבל לפחות אותו הסכום. נניח X_1,X_2,..,X_n הפתרון עבור עזבון בגודל S ונניח Y_1,Y_2,..,Y_n זה הפתרון עבור עזבון בגודל T. אם T\ge S אז גם Y_i\ge X_i.

שיטות החלוקה שראינו עד עכשיו הן: חלוקה אחידה (רמב"ם), חלוקה יחסית (חננאל) וחלוקה לפי "שניים אוחזין" (פרופ' אומן). כל שיטות אלה מקיימות את העיקרון השלישי והעיקרון הרביעי. על חלוקה אחידה יצא קצפו של רבי חננאל כי מצא דוגמה בה לא מקיימת את העיקרון השני וסביר שבגלל זה אמר שאינה צודקת.לעומת זאת, נדמיין מצב בו אותו איש רוצה לנשל את שתי הנשים הראשונות ולכן נותן לשלישית כתובה עצומה של מיליון שקלי זהב. כמובן שאינו יכול לשלם אותה, אבל כשבאות לפני בית דין נוצר מצב מעניין. אם נבצע חלוקה יחסית יקבלו שתי הנשים הראשונות חלק שאינו אפילו פרוטה והשלישית תקבל הכל. פה אני נזעק נגד רבי חננאל: האם לזה התכוון רבי? איפה מידת הצדק? אמנם פרוטה אינה אפס מוחלט, אבל ניתן לומר שהעיקרון הראשון לא כובד. נראה שרבי וגם רבי נתן הבינו במה מדובר וניסו למצוא שיטה שתיתן גם לבעלת הכתובה הקטנה חלק משמעותי. הם השתמשו במידת הרחמים. ניתן להכליל הת העיקרון הראשון קצת יותר (בלי לדייק) ולומר שאם יש מספיק כסף בעיזבון תקבל כל אישה חלק משמעותי, שלא ייראה כאילו יצאה בלא כלום. וכמובן יש להתחשב בחלשים…

ראינו ששני הפירושים להלכת רבי יהודה הנשיא נתקלים במקרי קיצון בם הם סותרים עקרונות צדק. למי שמנוסה במחשוב הפתרון קל: פתרון היברידי. זה אומר שמתחילים בצד אחד עם פתרון אחד, ובשלב כלשהו הופכים את היוצרות ומשתמשים בפתרון השני, ועושים זאת בצורה רציפה שלא לעבור על העיקרון הרביעי. כלומר, כשהעיזבון קטן מאד, עושים חלוקה שווה. כשהעיזבון גדול, עושים חלוקה יחסית. וביניהם, עושים פשרה בין השיטות. נראה שכך חשב גם רבי נתן. ובאמת, שיטת "תואם שניים אוחזין" מקיימת את כל זה. הנה עוד אפשרות: אם העיזבון אינו מספיק לכסות מחצית כל הכתובות יחלקו בצורה אחידה אבל שלא תקבל אף אחת יותר ממחצית כתובתה. (היינו, בדיוק כמו שתיאר הרמב"ם איך לבצע חלוקה אחידה, רק שמתייחסים רק למחצית הכתובות). אם העיזבון גדול יותר (מספיק לכסות את מחצית כל הכתובות) יחלקו באופן יחסי. קל לראות שכל העקרונות נשמרים. פחות קל לראות אבל בהחלט מתקיים שלפחות עד כיסוי מחצית כתובתן הפתרון זהה לפתרון "תואם שניים אוחזין". וכל זאת מבלי אפילו לדון בעיקרון שניים אוחזין – אין בו צורך. אם העיזבון גדול, שיטת זו נותנת תוצאה שונה מ"תואם שניים אוחזין".

לעניות דעתי, סביר יותר שלפתרון זה התכוון רבי נתן. לכאורה שניהם מקיימים את כל העקרונות שפירטנו, ובתחום הפתרון בו השיטות שונות אין דוגמה מהמשנה שתעזור להבחין מי צודק. אז איך מפרידים? מוצאים עיקרון צדק נוסף.

עיקרון אחרון: צדק צריך להיראות ולא רק להיעשות. לא רק רבי נתן צריך להבין את הלכתו: גם הדיין בבית הדין צריך להבין, וגם האלמנות הבאות לפניו. שיטת "שניים אוחזין" קשה להבנה לפשוטי העם. גם אם רבי נתן היה חכם מספיק להבין, איך יבינו האלמנות? זה טיעון קשה אותו מביא הרב סולוביצ'יק כנגד פרופ' אומן. הוא עושה זאת ביחס מלגלג, ואני עושה זאת ביראת כבוד. פרופ' אומן עונה שהחישוב יכול להיעשות על ידי תינוקות של בית רבן, ושאין האלמנות חייבות לדעת מה סיבת החישוב. אני מציע שיטה פשוטה הרבה יותר גם להסבר וגם לחישוב, שבאמת יכול כל אדם להבין ובוודאי היתה נגישה לרבי נתן. ובנוסף, היא תואמת את כל עקרונות הצדק שפירטתי ואת כל הדוגמאות שמביא רבי נתן.

סיכום השיטה: מחלקים שווה בשווה רק שלא לתת יותר ממחצית כתובתן. ואת מה שנותר מחלקים באופן יחסי.
ופה באמת אין מתמטיקה מסובכת. ורק דבר אחד נפלא מבינתי: איך כל החכמים והגאונים לא מצאו את זה. וכמובן אין אנו יודעים מה באמת חשב רבי נתן. וכל אחד יסיק לבד מי ניחש טוב יותר. לסיום, אני מביא בטבלה הבאה את הפתרונות של הדוגמה של רבי נתן עבור עזבון מגודל מאה ועד שש מאות עבור כל ארבע השיטות.

עזבון חלוקה אחידה (רמב"ם) חלוקה יחסית (חננאל) חלוקה תואמת שניים אוחזין חלוקת פשרה (שלי)
100 33\frac{1}{3},33\frac{1}{3},33\frac{1}{3} 16\frac{2}{3},33\frac{1}{3},50 33\frac{1}{3},33\frac{1}{3},33\frac{1}{3} 33\frac{1}{3},33\frac{1}{3},33\frac{1}{3}
200 66\frac{2}{3},66\frac{2}{3},66\frac{2}{3} 33\frac{1}{3},66\frac{2}{3},100 50,75,75 50,75,75
300 100,100,100 50,100,150 50,100,150 50,100,150
400 100,150,150 66\frac{2}{3},133\frac{1}{3},200 50,125,225 66\frac{2}{3},133\frac{1}{3},200
500 100,200,200 83\frac{1}{3},166\frac{2}{3},250 66\frac{2}{3},166\frac{2}{3},266\frac{2}{3} 83\frac{1}{3},166\frac{2}{3},250
600 100,200,300 100,200,300 100,200,300 100,200,300

אחרית דבר

קראתי את המשנה הראשונה בבבא מציעא: על "שניים אוחזין בטלית". הפריע לי מאד שההסבר אינו מושלם. אולי זה הנסיון הרב במדעי מחשב, ואני וודאי לוקה לפחות קצת במה שנקרא Obsessive-Compulsive Disorder. בכל מקרה רציתי למצוא עיקרון כללי, שלם והגיוני לכל אפשרות שהיא. מעין פיצוח חידה קטנה, לא היה ממש קשה. אחר כך שאלתי את עצמי אם מישהו ניסח פתרון כזה או אחר ומצאתי את מאמרו של פרופ' אומן על עניין "מי שהיה נשוי שלש נשים ומת" (כתובות דף צג עמוד א). הוא פיצח חידה קשה יותר ומצא פתרון אפשרי שקושר את משנתו של רבי נתן ממסכת כתובות ל"שניים אוחזין". הפתרון שלו שונה משלי והיה כיף לקרוא. וגם פרסם מאמר מתמטי-כלכלי בנושא וההנאה רבה עוד יותר.. בכל מקרה, חשבתי על דבריו וגיליתי הסבר אחר, פשוט יותר למשנתו של רבי נתן. שוב, יש הנאה בפתרון חידה שבמשך אלפי שנים לא היה לה פתרון. הנסיון העצום של פרופ' אומן בתורת המשחקים עזר לו לראות פתרון היכן שרבים נכשלו. המאמר שלו והנסיון שיש לי במדעי המחשב עזרו למצוא את הפתרון שלי. ולי יש יתרון גדול עוד יותר משלו: אני לא כבול בכללי הלימוד של "חכמים". אני לא חייב להניח שמי שהיה לפני צודק (אפילו לא פרופ' אומן).

2 תגובות בנושא “דף יומי אלטרניטיבי – עוד יותר מתמטיקה

  1. המסקנה שלי היא שלא כדאי להתחתן שלוש פעמים (או להיות אישה שלישית של גבר מסוים)
    אבל אני תוהה איך הפתרון יעבוד לאינסוף נשים…

    אהבתי

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

w

מתחבר ל-%s