המלצה על ספר – יחסות

הצילום למעלה הוא אירוע שקרה עשירית שניה אחרי הצילום מההמלצה הספרותית הקודמת. אני קורא לו "שקנאי חום תוקף את האוקינוס השקט." כמובן, עשירית השניה עברה בין הצילומים במצלמה, לא בהכרח עברה על השקנאי: וזה נושא הרשומה הנוכחית.

על הספר

שוב אני ממליץ על ספר לקריאה, ושוב ההמלצה אינה שגרתית. הספר נקרא באנגלית "Relativity" ויש לו כותרת משנה "The Special and General Theory" והוא נכתב על ידי מי שאחראי לפיתוח התיאוריה: אלברט איינשטיין. אני קראתי את הספר באנגלית, וזהו תרגום מגרמנית. אין לי מושג אם יש תרגום לעברית. הספר נכתב לראשונה בשנת 1916, שנה אחרי פרסום תיאורית היחסות הכללית (יחסות פרטית התפרסמה עשר שנים לפני כן). הספר נערך מחדש על ידי הסופר בשנת 1920. בשנת 1952 הוסיף איינשטיין עוד פרק אחרון על הפילוסופיה של "מהו" מרחב" ואיך זה התפתח באופן היסטורי. קראתי את הגרסה הראשונה ואת האחרונה, ואני ממליץ בחום לקרוא את המהדורה המעודכנת ביותר.

כפי שאיינשטיין מסביר בתחילת המבוא למהדורה הראשונה, הספר מיועד למי שמעוניין לדעת על תיאורית היחסות (גם פרטית וגם כללית), אבל אינו בקיא במתמטיקה הנדרשת כדי לעסוק בפיסיקה תיאורטית. הוא טוען שמספיק ידע של סיום תיכון כדי לעקוב אחר הספר (למעשה, מה שהתכוון לו הוא לעבור את בחינות הכניסה לאוניברסיטה). כמובן שמדובר ברמה הנדרשת לפני מאה שנים (בשוייץ) ואין לי מושג למה זה דומה היום. לעניות דעתי, מי שעבר בהצלחה שלוש יחידות מתמטיקה בישראל יכול לעקוב אחר השליש הראשון של הספר מבלי שיחסר לו ידע מתמטי, ואולי יגיע אל מחצית הספר בלי בעיה. מעבר לכך יש צורך בקצת יותר ידע, וגם להרגיש בנוח עם רעיונות משונים בגיאומטריה. אני חייב להודות שגיאומטריה זה התחום החלש שלי במתמטיקה, אבל כמובן הכל יחסי. איינשטיין עצמו מודה שהספר דורש מאמץ רב לקריאה והבנה, וכל זאת למרות שניסה להסביר הכל בצורה הכי פשוטה והכי ברורה שאפשר. אני חושב שהמאמץ כדאי.

הספר אינו ספר לימוד מסורתי. אין בו תרגילים. מה שיש בו זה התהליך אותו עבר איינשטיין מרעיון אחד למשנהו עד שהגיע להבנה של התיאוריה. והכל באמת מוסבר בצורה מאד ברורה. הדבר שהיה הכי חשוב לאיינשטיין להסביר זה האינטואיציה מאחורי כל רעיון. ההסברים הם בשפה הפשוטה ביותר שאפשר, אבל הרעיונות עמוקים מאד. אז אני ממליץ לקרוא, אבל לא בהכרח עד הסוף. כל אחד כפי יכולתו. בגלל זה זו המלצה מוזרה. הערך של הספר אינו רק בהבנה של "מהי תורת היחסות" אלא קודם כל "מה זה פיסיקה" ואפילו "מה זה מדע". אני לא הבנתי באמת מה זה מדע עד שקראתי את הספר בפעם השניה. ובשביל זה לא צריך מתמטיקה אלא רק את היכולת לחשוב.

החלק הראשון של הספר (17 פרקים אבל רק 64 עמודים) מתאר את תורת היחסות הפרטית. (יחסות פרטית מתארת פיסיקה ללא כוחות, כבידה או תאוצה, רק גופים וקרינה הנעים במהירות אחידה). חלק זה מספיק לדעתי כדי גם להבין מהו מדע ואפילו מהי פיסיקה. מעבר לכך, יש מספיק הסברים כדי להבין יחסות פרטית עד לרמה של פתירת בעיות ממשיות. לדוגמה: כמה זמן עבר על השקנאי בין שני הצילומים אם הזמן שחוותה המצלמה הוא בדיוק עשירית שניה בין שני הצילומים? השקנאי נע יחסית למצלמה במהירות של שלושה מטרים לשניה בערך, והשקנאי והמצלמה נמצאים באותו גובה מעל פני הים, כך שתאוצת הגרויטציה עליהם שווה ואפשר להשתמש ביחסות פרטית (מתעלמים מכוח משיכה). כאמור הזמן במצלמה היה 0.1 שניות. הזמן של השקנאי הוא:
t = 0.1\times\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=0.1\times \sqrt{1-\frac{3^2}{300000000^2}}=0.099999999999999995
כלומר, זה לא ממש מעשי למדוד את ההבדל, אבל באופן עקרוני הזמן של השקנאי חולף לאט יותר.

החלק השני מסביר את האינטואיציה של תורת היחסות הכללית: כלומר מוסיפים תאוצה ואת כוח המשיכה (כבידה). בניגוד לחלק הראשון, בחלק השני אין הגדרה ממשית של התיאוריה. המשוואות הבסיסיות לא מוצגות, ולא ניתן יהיה לפתור אפילו בעיות פשוטות. יש לכך סיבה: המתמטיקה הנדרשת לחלק זה קשה מאד גם למקצוענים. קשה מאד להבין תיאוריה מבלי להיות מסוגל להבין איך היא משפיעה על המציאות (לפתור תרגיל). ולכן חלק זה פחות מומלץ, אבל למי שסקרן, זה הדבר הקרוב ביותר שיש, אם אין רוצים ללמוד מתמטיקה עוד כמה שנים טובות.

פרק שמיני: על המשמעות של "זמן" בפיסיקה

אני מביא את הפרק השמיני פה כדוגמה למה שהרשים אותי במיוחד בכל הספר. בשלב זה אנחנו די בהתחלה, ואיינשטיין באופן שנראה די טרחני עבר עד כה על מושגים בסיסיים ביותר ומתאר אותם מאד בפירוט. איך מודדים מרחק? מציבים מוטות מדידה (אפשר לחשוב על סרגלים אחידים) בין שתי נקודות וסופרים כמה מוטות אחידים נכנסים בין שתי הנקודות. הוא ממשיך בדברים כאלה שלומדים בגן. באמצע הפרק השמיני, על מהו "זמן" מוסיף הסופר משפט אחד מעניין: "אני מבקש מהקורא לא להמשיך הלאה עד שהוא מוודא שהוא מבין את מה שהוסבר עד עתה". בקריאה ראשונה, חשבתי לרגע שהכל ברור, המשכתי בקריאה ואחרי 20 עמודים הבנתי שהסתבכתי. בקריאה שנייה פתאום עלתה בי המחשבה "איינשטיין מבקש ממני לחשוב אם אני מבין אז כנראה שצריך באמת לחשוב". ואז נפל האסימון. כל הדברים הטרחניים שהוא הסביר בהתחלה הם רעיונות עמוקים מאד. הם למעשה הבסיס של "מה זה פיסיקה" ומהו מדע בכלל.

הדרך בה נהוג לחשוב על המציאות היא: מרחק זו תכונה מובנת מאליה שיש לכל זוג עצמים, ושימוש בסרגל הוא אחת הדרכים למדוד מרחק. הדרך בה איינשטיין חושב על זה היא "השימוש בסרגל הוא ההגדרה של מהו מרחק". באופן יותר כללי: הגדרה של מושג חייבת לכלול בתוכה את הדרך בה מוודאים את המושג במציאות. אם אני אומר שכדור הארץ מתחמם בעשירית המעלה כל עשר שנים אני צריך להגדיר איך קובעים מה טמפרטורת כדור הארץ. ככה אני יכול למדוד את זה בהפרש של עשר שנים ולבדוק אם זה נכון או לא. אם אני אומר שאני יושב במרחק מצי מטר ממסך המחשב, ההגדרה של מרחק היא: שים סרגל של חצי מטר ביני למסך ותראה אם הוא מתאים בדיוק.

קשה להסביר את האינטואיציה של "למה זה חשוב". למי שרוצה לדעת: קרא את הספר. אבל קל יותר להסביר את האינטואיציה של תחילת הפרק על מושג הזמן, והעיקרון הוא אותו עיקרון. אז ככה הוא מתחיל: "נניח שפגע ברק בשתי נקודות A,B מרוחקות זו מזו על הקרקע." (כלומר שתי נקודות על גוף מוצק ולכן המרחק ביניהן אינו משתנה). הוא ממשיך "ונניח שאני אומר לכם שמכות הברק פגעו בשתי הנקודות בו־זמנית (היינו באותו זמן). אם אשאל אתכם אם יש להצהרה הזאת משמעות, מה תענו?" זהו פרק קשה במיוחד. לאיינשטיין לא היה קל להסביר את המחשבה מאחורי הרעיון, כי בתקופתו אי אפשר היה לערוך ניסוי שמדגים את החשיבה באופן ישיר. היום זה אפשרי ואפילו מעשי. אז אנסה להסביר בדרך שונה משלו. אבל בכל מקרה, הרעיון המדריך אותנו תמיד הוא: "ההגדרה של מושג מדעי חייבת לכלול את הדרך למדוד אותו".

במכניקה קלאסית (פיסיקה של ניוטון) הזמן הוא אוניברסלי, הזמן חולף באותו קצב בכל מקום ביקום ללא תלות בשום דבר אחר. זה אומר שאם אקח שני שעונים מדוייקים מאד ומסונכרנים ואשים אותם בשתי הנקודות, אז יכולים שני אנשים (או מכונות, זה לא משנה) לקרוא את הזמן בכל שעון בזמן שפוגע הברק. אחר כך יפגשו האנשים וישוו את מה שקראו מהשעונים. אם השעונים הראו את אותו הזמן אז הברקים פגעו באותו זמן. זו בהחלט הגדרה של "באותו זמן" שניתנת למדידה. וכך זה הופך לתיאוריה פיסיקלית. זה אומר שניתן לבדוק אם התיאוריה נכונה או לא: האם היא עומדת במבחן המציאות?

תיאור הניסוי

בחרתי במקום יפה לערוך את הניסוי: באי הגדול של הוואי. ניקנה שני שעוני צזיום (שעונים אטומיים מדוייקים מאד).. זה לא נורא יקר, שני השעונים יחד יעלו בערך מאה וחמישים אלף דולר. כל בית ספר יכול להרשות לעצמו…. ניקח אותם למעבדה של בית הספר, שנמצא בערך בגובה פני הים.

DSCN1881
נוף בערך בגובה פני הים

נסנכרן את השעונים (כדי לוודא שהם מראים את אותה ננו־שניה באותו זמן. (השעונים שקנינו מדוייקים עוד יותר מזה, ואחת הפעולות שהם יודעים לעשות זה סינכרון, ופעולה אחרת היא השוואה ביניהם). נשאיר את אחד השעונים בתחילת שנת הלימודים בכיתה (או בתצפית לנוף, אבל הם צריכים חיבור לחשמל). את השעון השני ניקח במעלה ההר Mauna Kea לפסגה.

DSCN1863
מצפה הכוכבים על הפסגה
DSCN1861
נוף של פסגת ההר

כפי שאתם רואים, יש כביש שמביא עד הפסגה, יש מצפה כוכבים בפסגה, ולכן יש מקום טוב בתוך מבנה, ועם חיבור לחשמל. בנוסף, יש שם פיסיקאים שודאי יאהבו לעזור לבית הספר לעשות ניסוי מדעי. בחרתי מקום טוב. נשאיר את השעון השני שם במהלך שנת הלימודים. לקראת סוף שנת הלימודים (אחרי תשעה חודשים) נחזיר את השעון ממצפה הכוכבים אל הכיתה. לפי פיסיקה של ניוטון, לא יהיה הבדל בין השעונים, כי הזמן חולף בקצב אחיד בכל מקום. לפי יחסות כללית, הזמן חולף לאט יותר כאשר כוח הכבידה חזק יותר (ככל שעולים במעלה ההר, כוח המשיכה נמוך יותר כי אנו מתרחקים ממרכז כדור הארץ. ההבדל אינו משמעותי עבור שעוני יד, אבל משמעותי מאד עבור השעונים היקרים. ההבדל יהיה בערך עשר מיקרו־שניות (אחד חלקי מאה אלף של שניה). השעון שהיה במצפה הכוכבים יראה בערך עשר מיקרו־שניות יותר אחרי תשעה חודשים של שהיה למעלה.

את החישוב לא ניתן לעשות לפי מה שכתוב בספר של איינשטיין. כאמור, הוא אינו נותן אפילו את משוואת השדה הבסיסית. אבל למי שמעוניין, מחשבים את זה בערך כך:

\Delta t = T\times\left(e^{\frac{1}{c^2}\int_0^h g(x)dx}-1\right)\approx T\times\left(e^{\frac{1}{c^2}\int_0^h g(0)\frac{R^2}{(R+x)^2}dx}-1\right)\approx\frac{g(0)Th}{c^2}

במשוואה שלמעלה, \Delta t הוא הפרש הזמן שאנו מחפשים, T הוא הזמן שחלף (תשעה חודשים, אבל בשניות), g(x) זה כוח המשיכה של כדור הארץ בגובה x, כמובן ש c זו מהירות האור במטרים לשניה, ולסיום h הוא גובה ההר: 4205 מטרים. g(0) = 9.8 מטר לשניה בריבוע בערך.

איך זה נקשר לשאלה של "האם שני אירועים קורים בו־זמנית"? אפשר לחשוב על זה ככה: נתקין במצפה הכוכבים קרן לייזר המופעלת בכל יום בדיוק בצהרי היום (שעה 12 בדיוק) ומכוונת אל מַקְלט בבית הספר הצמוד לשעון שם. ביום הראשון לניסוי תגיע הקרן לבית הספר אחרי 12 בצהריים (לוקח קצת זמן לאור להגיע מההר לבית הספר). למעשה, אם הקרן מכוונת לבית הספר התיכון הקרוב להר (כארבעים קילומטר) זה יקח בערך 133 מיקרו שניות. אחרי תשעה חדשים הקרן תגיע 123 מיקרו שניות אחרי הצהריים, ואחרי עשר שנות ניסוי הקרן תגיע לפני הצהריים (כלומר סדר הזמנים התהפך). הדרך המקובלת לקבוע אם שני אירועים קורים בו זמנית (ולכן את סדר האירועים ביקום, או מה קדם למה) לא עובדת במציאות.

 לסיום

איינשטיין כתב טוב בהרבה ממה שאני הצלחתי להסביר. אני מקווה שהרבה אנשים ככל שאפשר יקראו לפחות את החלק הראשון, בלי לפחוד מהנושא. הרעיון אינו לדעת מה התיאוריה אומרת, אלא איך לחשוב על מדע ומציאות. מה המשמעות של "האם הצהרה היא נכונה". יש לקרוא פרק אחד בכל פעם (רק עמודים ספורים), ואז לחשוב הרבה.

ואוסיף חידה: נניח שאני רוצה לערוך ניסוי דומה בארץ. אבחר לדוגמה, את גדות הכינרת כנקודה הנמוכה, ואת פסגת החרמון כנקודה הגבוהה. (אני יודע שפסגת החרמון אינה נגישה לנו, אבל נניח באופן תיאורטי, הרי ממילא אין לבית הספר מאה וחמישים אלף דולרים מיותרים). האם הנוסחה שהשתמשנו בה קודם עדיין תעבוד?

 

4 תגובות בנושא “המלצה על ספר – יחסות

  1. אין באפשרותי לערוך את הניסוי שלך. אבל יש לנו ספר (בעברית) שנקרא: "הפיזיקה החדשה", עם כותרת משנה: " התפתחות ההשקפות מן המושכלות הראשונים עד היחסיות והקואנטים" נכתב ע"י אלברט איינשטיין וליאופולד אינפלד . תורגם ע"י ש. פ. קלעי ויצא לאור בדפוס השומר הצעיר, מרחביה בשנת 1947.עוד נאמר שם ששם הספר במהדורה האנגלית המקורית הוא: התפתחות הפיזיקה. אתה מוזמן.

    אהבתי

    1. אם כך, אז אמליץ במיוחד בשבילך על ספרו של סטניסלב לם A Perfect Vacuum, אשר אני חושב שאין לו תרגום לעברית. הפרק השלישי בספר נקרא Gigamesh והוא מאמר ביקורת על יוליסס. הביקורת היתה משכנעת מאד – השתכנעתי שאין צורך להתמודד עם ג'ויס, עדיף לקרוא דברים קלים ומובנים כמו את כתבי איינשטיין או את כתבי לם.

      אהבתי

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

w

מתחבר ל-%s