ריבית פשוטה

צילום למעלה: טבלת חישוב ריבית מצטברת (ריבית דריבית) מתוך ספר נוסחאות וטבלאות במתמטיקה משנת 1968.

"אבא, תעזור לי" אמרה הבת הקטנה – יש לה שיעורים במתמטיקה. לפי ספר הלימוד האחיד לכתה ז' היא צריכה ללמוד איך מציבים נתונים בנוסחה ופותרים, וקוראים לזה אלגברה. שיהיה… אז מה היתה הבעיה (בתרגום חפשי)?

"אם לקחתי הלוואה של $100,000 בריבית של 4% לחמש שנים, מה היה סך כל תשלום הריבית?"

לרגע חשבתי שמשהו לא תקין פה. מה פתאום שואלים ילדה בכתה ז' על תשלומי ריבית? למיטב זכרוני, זה לא הנושא הכי פשוט בעולם. אז היא מראה לי שלימדו אותם נוסחה מהספר:

I = P \cdot r \cdot T

הסבר הנוסחה: I זה סך תשלום הריבית (Interest בלעז), P הוא גודל ההלוואה (Principal באנגלית), r הוא שיעור הריבית (שנתית – annual interest rate) ולסיום T הוא זמן ההלוואה בשנים (Time). טוב, כדי לפתור מציבים בנוסחה והנה התוצאה:

I = 100000\cdot 4\% \cdot 5 = 100000\cdot 0.04 \cdot 5 = 20000

השאלה היא: מי שמע על מין הלוואה כזאת בה הריבית אינה מצטברת (מעריכית). הרי אם לוויתי 1000 שקל בריבית שנתית של 4% אז אחרי שנה אני חייב 1040 שקל, אחרי שנתיים 1081.60 שקל ואחרי חמש שנים:

1000 \cdot 1.04^5 = 1216.65

קוראים לזה "ריבית דריבית" וזה הדבר הכי טבעי שיש, אבל לא בשביל ילדה נורמלית בת 12. למה מלמדים אותם דברים לא שימושיים כאלה? אז הסברתי לה שבחיים לא מקבלים הלוואות מטופשות כאלה, אבל בשביל שיעורים במתמטיקה שתחשב כמו שאמרו לה, וככה תעשה גם במבחן.

הפתרון הרציף

הייתי קצת סקרן לדעת מה הפתרון האמיתי לבעיה, כזה שמשתמשים בו בבנק לצורך חישוב משכנתא. כמו בהרבה דברים במתמטיקה, הפתרון הרציף קל יותר לחישוב ומהווה קירוב לפתרון, או אפילו פתרון מדוייק. (במקרה זה טעיתי, והפתרון הרציף קשה יותר).מה היה לנו שם?

I הוא סך כל תשלום הריבית במהלך ההלוואה (זה מה שרוצים למצוא)
P זה גודל ההלוואה
r זו הריבית. באופן מוזר בבנקאות מחשבים ריבית בכל חודש אבל קובעים "ריבית שנתית" שהיא הריבית החדשית כפול 12. בחישובים שלנו הריבית תהיה חדשית לפי כללי הבנקאות. זה אומר שאם שאלו את ביתי היקרה על ריבית שנתית של 4% התכוונו לריבית חדשית של 4\%/12 = \frac{1}{3}\%
x הוא גודל התשלום החדשי. זה לא נתון בשאלה ולכן נוח לקרוא לו x. ניאלץ למצוא אותו בדרך
T הוא משך ההלוואה בחודשים (כי התשלומים חודשיים). בדוגמה שלנו משך ההלוואה היה חמש שנים, אז T הוא 60 חודשים.
D: בבנקאות נהוג לסמן משהו שנקרא discount rate ואין לי מושג מה שמו העברי. זהו היחס בין גודל התשלום x לבין גודל ההלוואה P: או במילים אחרות: D=\frac{x}{P}. לדוגמה, אם לקחתי הלוואה של אלף דולר, ואני משלם בכל חודש עשרה דולרים אז D=\frac{10}{1000} = 0.01.
השימוש ב discount rate די פשוט. אם הלווה רוצה לדעת את גודל התשלומים, מחפשים בטבלה את D שתלוי רק בריבית ובמשך ההלוואה, ומכפילים בגודל ההלוואה. כמובן, חייב להתקיים D\ge r כי זה אומר שגודל התשלום החדשי מכסה לתחות את הריבית ההתחלתית. אם איני מכסה את הריבית, החוב רק יגדל בכל חודש.

הפתרון הרציף מדמה שהחוב שלי הוא פונקציה רציפה של הזמן. נקרא לפונקציה S(t). מה ידוע לנו על הפונקציה:
S(0) = P שזה אומר שבזמן אפס (תחילת ההלוואה) גודל החוב הוא גודל ההלוואה.
S(T) = 0 שזה אומר שבסיום ההלוואה אין לי חוב.
והכי חשוב: קצב השינוי של החוב. עקרון הרציפות אומר שבכל רגע נתון החוב גדל במכפלה של החוב (זו תוצאה של ריבית). ובאותו זמן החוב קטן בקצב אחיד בגלל התשלום (הקצב הוא x דולרים בחודש). זה נותן לנו משוואה דיפרנציאלית:

\frac{d}{dt}S(t) = A\cdot S(t) - x

A הוא קבוע בזמן שכרגע אינו ידוע, אבל תלוי רק בשיעור הריבית. זה החישוב הנכון לחוב, לכל ערך של x, גם אם אינו מספיק לתשלום ההלוואה. נמצא את A בהמשך. הפתרון הכללי של משוואה דיפרנציאלית בסגנון זה הוא (נספח על פתרון משוואת דיפרנציאלית פשוטה נמצא בסוף הרשומה, למי שמתעניין):

S(t) = \frac{x}{A}+C\cdot e^{At}

מציבים את מה שאנו יודעים על S(0)=P ומקבלים C=P-\frac{x}{A} כלומר

S(t) = \frac{x}{A}+\left(P-\frac{x}{A}\right)e^{At} = e^{At}P - \frac{e^{At}-1}{A}x

כדי למצוא את x נזכרים שמשך ההלוואה הוא S(T)=0 ואז

0 = e^{AT}P - \frac{e^{AT}-1}{A}x

זה אומר ש discount rate הוא
D = \frac{Ae^{AT}}{e^{AT}-1}

אם רוצים לדעת מה התשלום החודשי: x = D\cdot P
מה סך כל התשלום בכל ההלוואה? x\cdot T = D\cdot P \cdot T
ולסיום מה היה סך כל תשלום הריבית (התשלום הכולל, פחות סכום ההלוואה): I = x\cdot T - P=P(DT-1)
החכמה היא למצוא מה התשלום החדשי, ולצורך כך מהו discount rate ולכן צריך למצוא את A

איך מוצאים את A? ניזכר שהמשוואה שמצאנו נכונה לכל ערך של x ובפרט עבור x=0. עוד אנו יודעים שכאשר אנו לא משלמים דבר (x=0) החוב מכפיל את עצמו בערך 1+r בכל חודש, כלומר
S(t) = (1+r)^tP
כאשר x=0 הפתרון שמצאנו הוא:
S(t)=e^{At}P.
מכאן אפשר למצוא:
e^{At}P = (1+r)^tP \Rightarrow e^A = (1+r) \Rightarrow A = \ln(1+r) \approx r
הקירוב \ln(1+r) \approx r הוא די מדוייק עבור ערכים קטנים של r.

ולכן הפתרון הרציף של הבעייה הוא:

I=P\cdot D\cdot T-P=P\left(\frac{\ln(1+r)\cdot (1+r)^T \cdot T}{(1+r)^T-1}-1\right)

I \approx P\left(\frac{r\cdot (1+r)^T \cdot T}{(1+r)^T-1}-1\right)

במקרה של הבעיה של הבת, T=60, P=100000, r=0.04/12 ומקבלים D=0.01838589 ולסיום:
I=P(DT-1)=10315.38
למי שהגיע עד כאן, התשובה שהבת היתה צריכה לחשב היתה 20000, בגלל שלא לקחו בחשבון את ירידת החוב בגלל התשלומים החדשיים.

הפתרון הבדיד

חשבתי לתומי שהפתרון הרציף הוא קירוב טוב של המציאות (זה נכון) ופשוט יותר מפתרון מדוייק. במקרה זה טעיתי בגדול. מה שקורה במדוייק הוא ככה:
S(t) זה עדיין גודל החוב כפונקציה של זמן. (כל הסמלים שקבענו בפתרון הרציף עדיין בתוקף). בכל חודש מגדילים את החוב בשיעור הריבית, ומקטינים אותו בשיעור התשלום:
S(t+1)=S(t)+r\cdot S(t)-x=(1+r)S(t)-x
אנו גם זוכרים ש S(0)=P ואז יוצא
S(t) = (1+r)^tP-x\sum_{i=0}^{t-1}(1+r)^i = (1+r)^tP-\frac{(1+r)^t-1}{r}x
מציבים S(T)=0 ומקבלים את הנוסחה המדוייקת של discount rate:
D=\frac{x}{P}= \frac{r\cdot (1+r)^T}{(1+r)^T-1}
זה בדיוק מה שקיבלנו בתור קירוב טוב של הנוסחה במקרה הרציף.

במקרה של הבעיה של הבת, פותרים ככה:
I = P(DT-1) = 10499.13
וזהו הפתרון המדוייק.

 

הלוואות של ריבית בלבד

פעם, לפני שנים רבות מאד (עד לפני עשר שנים בערך) בארץ רחוקה רחוקה (ארה"ב) היה משבר פוליטי בעניין הלוואות לדיור (משכנתאות) שנתנו הבנקים לתושבים. אם המשבר היה אמיתי או מדומה, זה לא עניין האגדה שלפנינו. בכל מקרה, הבנקים היו רק מתווכים בין השלטון לעם, כי השלטון נתן את ההלוואה והבנק רק תיווך לפי קריטריונים שניתנו לו (היינו, האם הלווה יכול להחזיר את ההלוואה). היו פוליטיקאים שטענו שהבנקים מפלים לרעה מיעוטים מסויימים, כי נתנו להם פחות הלוואות. הבנקים מצידם טענו שאותם מיעוטים הם יותר עניים בממוצע ולכן פחות מהם יכולים להחזיר הלוואות. זו אפלייה, טענו הפוליטיקאים, ודרשו תיקון מיידי. אז הבנקים נתנו הלוואות לכל דכפין, ללא קריטריונים ברורים.

בסופו של דבר התחילו לתת הלוואות מבלי שהלווה נותן אפילו דולר אחד לתשלום על הבית (היינו ההלוואה היא על 100% מערך הבית). גם אז היו רבים שלא יכלו להחזיר את ההלוואות, אז המציאו את השיטה של "הלוואה של ריבית בלבד". הרעיון היה להפחית את התשלומים. הלווה היה מקבל את מלוא ערך הבית ובכל חודש משלם רק את הריבית ולא יותר (היינו D=r). כמובן, החוב אינו עולה או יורד, אלא נשאר יציב. הרעיון היה פשוט: כל אחד יכול "לקנות" בית, ערך הנדל"ן עולה כל הזמן כי הביקוש גבוה, ואחרי כמה שנים, ימכור הלווה את הבית ברווח גדול. הלווה מחזיר את מלוא סכום ההלוואה באותו זמן ונשאר עם עודף. ואם ערך הבית יורד, אז הבנק רק מתווך והממשל הפסיד. ככה פוליטיקאים יוצרים בועה בשוק. ולפני עשר שנים זה התפוצץ, והסתיימה האגדה.

לזה קוראים ריבית פשוטה. התוצאות לא הכי פשוטות, אבל החישוב די פשוט. אני מניח שספר הלימוד של הבת נכתב באותה תקופה אגדתית בה השאלה והנוסחה היו רלוונטיים.

נספח – איך פותרים משוואה דיפרנציאלית לינארית מהסוג הפשוט ביותר

המשוואה המדוברת היא
\frac{d}{dt}S(t)=A\cdot S(t) - x
מלכדים את כל האיברים של S(t) בצד אחד
\frac{d}{dt}S(t)-A\cdot S(t)=-x
בצד שמאל של המשוואה יש משהו שהוא שילוב של נגזרת של פונקציה עם הפונקציה עצמה. אנו צריכים להפוך את זה ל"רק נגזרת" ואז להפעיל אינטגרל על כל צד כדי למצוא את S(t). לצורך זה נשתמש בעובדה:
\frac{d}{dt}\left(e^{-At}S(t)\right)=e^{-At}\left(\frac{d}{dt}S(t)-A\cdot S(t)\right)
מכפילים כל צד בפונקציה (רציפה, גזירה ולעולם אינה אפס ולכן מותר) e^{-At} ומקבלים
e^{-At}\left(\frac{d}{dt}S(t)-A\cdot S(t)\right)=-x e^{-At}
ולכן מקבלים:
\frac{d}{dt}\left(e^{-At}S(t)\right)=-x e^{-At}
מבצעים אינטגרציה של הצדדים, ולא שוכחים שלתוצאה של אינטגרל לא מסויים צריך להוסיף קבוע:
e^{-At}S(t)=\frac{x}{A}e^{-At}+C
מכפילים כל צד בפונקציה e^{At} ומקבלים
S(t) = \frac{x}{A}+C\cdot e^{At}

כדי למצוא מהו הקבוע C צריך לדעת עוד משהו על הפונקציה: ערך הפונקציה בנקודה מסויימת. במקרה שלנו השתמשנו בתנאי התחלה S(0)=P.

תגובה אחת בנושא “ריבית פשוטה

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת גוגל

אתה מגיב באמצעות חשבון Google שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

מתחבר ל-%s